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CUADRADOS MÁGICOS

Como sabéis, participamos en el Podcast «No me cuentes historias» y esta semana tocaba hablar de la Sagrada Familia, ya que el 19 de marzo de 1882 se puso la primera piedra. Un poco de Matemáticas básicas: «Sí, estas en lo cierto, ya hacen 141 años de ese día» 🤪. Pues bien, se podrían hacer miles de relaciones con las Matemáticas, podríamos ahondar en Geometría, Trigonometría, Cálculo de estructuras, … Pero vamos a hablar de los cuadrados mágicos, y ¿por qué? Pues porque hay un cuadrado mágico en la Sagrada Familia.

Pero antes de nada…

¿QUÉ ES UN CUADRADO MÁGICO?

Pues no es más que un cuadrado dividido en un número igual de casillas por lado (3×3, 4×4, 5×5…). En el cual hay que rellenar las casillas con números naturales consecutivos, empezando por el uno, ordenados de tal forma que la suma de los números que aparecen en las casillas de cada una de las líneas horizontales es constante e igual a la suma de las casillas verticales, así como a las dos diagonales principales. Dicha suma constante recibe el nombre de suma mágica o constante mágica.

En el caso del cuadrado de orden 3 solo existiría una constante mágica, y es que todas las filas, columnas y diagonales principales sumen 15.

En este caso, hay 8 combinaciones posibles que serían las rotaciones y reflexiones de las filas de números. En las cuales siempre estaría el 5 en el centro:

Pero según aumenta el orden van subiendo el número de combinaciones que podemos conseguir. Para que os hagáis una idea Frenicle De Bessy estableció en 1693 que para los de orden 4 existen 880 cuadrados mágicos “esencialmente diferentes». Ojo, que no son tantos si consideramos las combinaciones totales diferentes que puede haber de los 16 números a colocar (16!=20.922.789.888.000).

CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN 4

Existen varios cuadrados mágicos famosos como son el de la Sagrada Familia y el del grabado «Melancolía» de Durero.

CUADRADO MÁGICO DE LA SAGRADA FAMILIA

El cuadrado mágico de La Fachada de la Pasión en la Sagrada familia es de orden 4 (es decir, cuatro filas por cuatro columnas). Y la colocación de los números permite que siempre sume 33 en diagonal, vertical y horizontal.

El 33 no es casual ya que hace una clara alusión a la edad de Cristo en la Pasión. Aunque también hay quien dice que la elección de esa constante es debida la supuesta adscripción masónica, de Antonio Gaudí, ya que el número 33 tiene relevancia en este grupo. Aunque nunca ha sido demostrado que Gaudí fuera masón.

CUADRADO MÁGICO DE LA MELANCOLÍA DE DURERO

Mientras que el cuadrado mágico de Durero, que aparece en su grabado «Melancolia» (1514) tiene los números distribuidos de tal forma que su constante mágica da 34

Este cuadrado de Durero tiene ciertas características que lo hacen si cabe más especial. Si os fijáis el año de la obra está escrito en el cuadrado, en la última fila horizontal aparece el 1514. Pero además de que la constante mágica aparece en cada fila, columna y diagonal también aparece en las 4 matrices menores de orden 2 de sus esquinas, comprobadlo:

¿EXISTE MÁS DE UNA CONSTANTE MÁGICA PARA CADA ORDEN?

NO, solo hay una constante para cada uno los ordenes. Pero, entonces ¿cómo es posible que el cuadrado de la Sagrada Familia de 33 y el de Durero 34? Mirad otra vez la imagen, a ver si encontráis el porqué.

MÍRALO

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VUELVE A LA IMAGEN

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DESCÚBRELO

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No te rindas, es como el juego de las diferencias…

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¿LO HAS ENCONTRADO?

Resulta que el cuadrado de la Sagrada Familia es atípico y no cumple las condiciones básicas, sino que ha cambiado los números 12 y 16 por 10 y 14 (repitiéndolos) para así poder obtener el 33 que buscaba.

Es decir, cada cuadrado mágico tiene muchas combinaciones posibles si seguimos las premisas básicas ( números consecutivos empezando por el 1 que sumen en todas las lineas lo mismo) pero una única constante mágica.

Vamos a verlo con un poco de razonamiento matemático:

Constantes mágicas para cada orden

En un cuadrado de orden 3 tendremos 3 filas y 3 columnas, si solo nos fijamos en las filas tendremos que colocar los 9 números de tal forma que existan tres sumas que nos den el mismo resultado. Como los números no se pueden repetir solo podemos usar cada número una vez, así que si sumáramos todos (da igual las combinaciones que hagamos) tendremos la suma de las tres filas (porque en esas 3 filas estarán contenidos todos los números). Es decir:

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Como tenemos 3 filas, tendremos que dividir entre 3 la suma total, para que esta sea igual de una fila a otra. Es decir, 45/3=15. Por tanto, la única forma sería la de tener una constante mágica de 15. Podemos proceder igual para cualquier orden.

Vamos a ver paso a paso como hemos obtenido esta tabla:

Cálculo de la suma de la serie de números consecutivos de cada cuadrado

Hemos sumado los números del cuadrado de orden 3 de uno en uno. Pero claro sumar los números cuando se va haciendo el orden más grande se complica ( o más bien, se vuelve tedioso). Para esto tenemos lo sumatorios. Que no os den miedo que lo que hacen es ayudar y hacernos la vida más fácil. Aquí vemos el sumatorio que deberíamos usar:

Una forma fácil de entender esta fórmula es la siguiente: Imaginad que queremos sumar los números del 1 al 9 (caso del cuadrado mágico de orden 3). Vemos en la siguiente tabla como podríamos invertir el orden y sumar, todos me darían n más uno. Así que si los multiplicamos por el número de veces (9) y lo dividimos por 2 (ya que hemos duplicado la serie) obtendremos la suma de los n números.

INCISO: La historia popular cuenta que un pequeño Carl Friedrich Gauss (el conocido como Principe de las Matemáticas) de 10 años calculó la suma de los 100 primeros números usando esta estrategia que acabamos de usar cuando un profesor los castigó a que sumaran los números del 1 al 100. Él lo hizo en un minuto usando este razonamiento y dándole el resultado de 5050

Calculemos la suma de todos los números del cuadrado de orden 4 para que veáis lo rápido y fácil que se obtiene con la fórmula que os hemos dado. En este caso tendremos los números del 1 al 16:

Así pues, la suma de todos los números del 1 al 16 da 136, podéis comprobarlo de forma manual.

Cálculo de la constante mágica

Ya que tenemos la suma de todos los números del cuadrado mágico clara, la constante mágica sería tan fácil como dividir esta suma total entre las filas del cuadrado para ver que número deben sumar todas las filas. Así para el cuadrado de orden 4 cada fila deberá sumar 136:4= 34. Que es lo que da el cuadrado mágico de Durero.

Sabiendo la constante mágica se facilita su resolución ya que no necesitamos saber a constante debemos aspirar haciendo prueba y error.

UN POCO DE HISTORIA, ¿PARA QUE SIRVEN LOS CUADRADOS MÁGICOS?

 No tienen una aplicación técnica conocida, pero es un puzzle, una diversión que resulta curiosa, supone un reto y trabaja el pensamiento matemático. Sería como un sudoku.

Pero sí que han tenido mucha relevancia a lo largo de la historia por que han sido relacionados con la magia.  En muchas civilizaciones generalmente se les atribuían a estos cuadrados propiedades místicas.

También han atraído la atención de muchos matemáticos por sus curiosas e interesantes características. Matemáticos tan relevantes como Fermat, Pascal, Leibnitz, Euler se han interesado por estos cuadrados. Así por ejemplo Euler envió un cuadrado mágico a Joseph-Louis Lagrange en 1770, el cual está formado solo por números cuadrados. La constante mágica de este es igual a 8.515

El origen: La leyenda del Lo Shu

Se cuenta que se conocen desde la antigüedad (año 2800 a.C.). Y es que su origen se remonta a la leyenda del “Lo Shu” , cuenta la leyenda que el emperador encontró en el río Lo, una tortuga que llevaba en la concha unos símbolos en forma de cuadrado mágico 3×3, Y desde entonces se le otorgó a este cuadrado de propiedades místicas. 

Pero no es en China en el único sitio donde se veneraban estos cuadrados como proveedores de fortuna. 

Opúsculo de Azarquiel sobre cuadrados mágicos

En el siglo XI Azarquiel, del que ya os hablamos en el artículo sobre Al-Ándalus,  tiene un tratado dedicado a los cuadrados mágicos. O más bien un opúsculo, porque no es muy extenso y en él no explica nada de la construcción de los cuadrados

Azarquiel combina cada uno de los planetas con un cuadrado mágico. Así, Saturno se corresponderá con el cuadrado de orden 3, Júpiter con el de 4, Marte con el de 5, el Sol con el de 6, Venus con el de 7, Mercurio con el de 8 y la Luna con el de 9. Y atribuye propiedades místicas a cada uno. Aunque hay que decir que presenta errores en los cuadrados. 

Se han usado como talismanes por sus propiedades mágicas o para preparar formulas y pociones mágicas usándose para conocer proporciones y cantidades .

Afortunadamente a día de hoy solo se utilizan como pasatiempo, pero se debe entender que en tiempos de menos ciencia y más superstición los creyeran mágicos al ver su belleza. De hecho hay magos que los usan en sus trucos, os dejamos un ejemplo muy interesante:

OTROS CUADRADOS MÁGICOS

Para la construcción de cuadrados mágicos tenemos ya varios procedimientos cuyo uso depende del orden del cuadrado que queramos construir. Tenemos reglas para construir cuadrados de orden impar y par. Pero que se sepa el método para construirlos no quiere decir que se hayan acabado sus posibilidades. De hecho, el tema de los cuadrados mágicos parece inagotable.

No dejan de aparecer versiones, modificaciones, adaptaciones, “mejoras”, al famoso juego que consiste en realizar un cuadrado mágico “a medida”. Existen cuadrados mágicos con bordes, pandiagonales, compuestos o compartimentados…Y si te saltas las condiciones primigenias de que debe empezar por uno y los números deben ser consecutivos (por ejemplo, hacerlo solo con números pares) las posibilidades para jugar son infinitas.

De hecho en la siguiente página web ofrecen retos para resolver cuadrados mágicos premiados con 8000 € y 12 botellas de champán: http://www.multimagie.com/

Lo dicho, da para tanto este tema que os recomendamos una página muy completa de Mark Farrar dedicada a los cuadrados mágicos :

http://markfarrar.co.uk/msfmsq01.htm

SALUDOS DESDE EL INFINITO

Bibliografía

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